玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein Condensation, BEC）的临界温度 Tc 是当大量玻色子开始宏观占据量子基态时的温度。
1. 基本假设与模型
考虑 三维无相互作用玻色气体，满足以下条件：
- 粒子数 N固定，体积 V固定；
- 粒子为全同玻色子，波函数对称；
- 化学势 μ在 T→Tc 时趋近于基态能量（取 μ→0?）。
2. 玻色-爱因斯坦分布
在巨正则系综中，每个量子态 ?的平均占据数为：
?n(?)?=1/(e^((??μ)/(kBT))?1)
总粒子数由对所有态的占据数求和得到：
3. 连续极限与态密度
在热力学极限（V→∞, N/V 固定）下，离散求和转为积分，引入 态密度 g(?)：
对于三维自由粒子，态密度为：
（由 ?=p2/(2m)，代入相空间体积计算。）
4. 临界条件与积分发散
当 T=Tc 时，化学势 μ→0?，此时积分上限为：
代入 g(?)的表达式：
5. 积分化简与特殊函数
令 x=?/(kBTc)，积分变为：
其中：
- Γ(3/2)=√π/2(Gamma函数）；
- ζ(3/2)≈2.612（Riemann zeta函数）。
因此：
6. 临界温度公式
解出 Tc：
代入 Γ(3/2)=√π/2和 ζ(3/2)≈2.612，最终得：
7. 关键物理思想
- 量子简并条件：当粒子的热波长
与粒子间距相当时（λT～n^(?1/3)），量子效应主导。
- 凝聚的涌现：低于 Tc 时，宏观数量的粒子占据基态（?=0），导致非积分项（凝聚体）与积分项（热激发）分离。
- 数学与物理的结合：积分发散的处理和特殊函数的使用揭示了量子统计与经典热力学的深刻差异。
8. 实验验证
1995年，铷（87Rb）和钠（23Na）原子气体在纳开尔文温区首次实现BEC，实验测得的 Tc与理论公式高度吻合。例如：
- 对 87Rb，密度 n～10^12?cm^(?3)，计算得 Tc～100?nK。
临界温度的物理意义
玻色-爱因斯坦凝聚的临界温度公式：
表明：
- 粒子质量 m越小，密度 n 越高，越容易实现BEC；
- 这是量子统计在宏观尺度上的直接体现，揭示了物质波的相干性。
此推导将量子统计、积分技巧和实验物理紧密结合，彰显了理论预言与实验验证的科学之美。