函数y=ln(94+59sinx)的单调凸凹性质归纳

函数y=ln(94+59sinx)的单调凸凹性质归纳

主要内容：

本文主要介绍三角与对数的复合函数y=ln(94+59sinx)的定义域、单调性和凸凹性，并用导数知识解析函数的单调区间和凸凹区间。

※.函数定义域：

因为-1≤sinx≤1，

所以-59≤59sinx≤59，则有：

0＜35=94-59≤94+59sinx≤59+94=153，

则函数y=ln(94+59sinx)的真数部分为正数，符合定义要求，所以该函数的定义域为全体实数，即定义域为：(-∞，+∞)。

※.函数单调性：

由导数的知识来求解和判断。

∵y=ln(94+59sinx)，

∴dy/dx=59cosx/(94+59sinx),

令dy/dx=0,则cosx=0，此时x=kπ+π/2,k∈Z.

函数的单调性为：

(1)当cosx＞0,即x∈[2kπ-π/2,2kπ+π/2]时，dy/dx＞0，此时函数为增函数；

(2)当cosx＜0,即x∈[2kπ+π/2,2kπ+3π/2]时，dy/dx＜0，此时函数为减函数。

※.函数凸凹性：

因为dy/dx=bcosx/(94+59sinx)，

所以d^2y/dx^2

=59 [-sinx(94+59sinx)-59cosxcosx]/(94+59sinx)^2,

=-59(94sinx+59sin^2x+59cos^2x)/(94+59sinx)^2

=-59(94sinx+59)/(94+59sinx)^2.

(1)当-(94sinx+59)≥0时，即94sinx+59≤0，则：

[2kπ+π+arctan(59/94),2kπ+2π-arctan(59/94)],此时d^2y/dx^2≥0，函数为凹函数，该区间为函数的凹区间。

(2)当-(94sinx+59)＜0时，即94sinx+59＞0，则：

[2kπ-arctan(59/94),2kπ+π+arctan(59/94)],此时d^2y/dx^2＜0，函数为凸函数，该区间为函数的凸区间。