一、幂函数的定义域核心解析

幂函数的一般形式为 y=xα，其定义域由指数 α 的取值决定，具体规则如下：

2025版更新要点：
强调对无理数指数的处理（如 α=2），明确中学阶段需掌握有理数指数的定义域规则，但对无理数指数的定义域需扩展认知。

二、高考对幂函数定义域的考查重点

高考对幂函数定义域的考查常结合以下方向：

1. 定义域与奇偶性的综合判断例题：若幂函数 f(x)=xα 为奇函数且在 (0,+∞) 上单调递减，求 α 的值。
   解析：奇函数要求 α 为奇数，单调递减要求 α<0，故 α=-1。
2. 复合函数的定义域分析例题：求函数 y=x2-1 的定义域。
   解析：需满足 x2-1≥0，解得 x≤-1 或 x≥1，即定义域为 (-∞,-1]∪[1,+∞)。
3. 实际应用中的定义域建模例题：某物理公式中涉及 y=x21，求 x 的取值范围。
   解析：分母不能为0，故 x=0，定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞)。

三、高考典型例题与解析

例题1：定义域与奇偶性结合
已知幂函数 f(x)=xα 的图象关于y轴对称，且在 (0,+∞) 上单调递增，求 α 的值。
解析：

1. 关于y轴对称说明函数为偶函数，故 α 为偶数。
2. 在 (0,+∞) 上单调递增，故 α>0。
3. 综合得 α 为正偶数，如 α=2。

例题2：复合函数的定义域求解
求函数 y=log2(x1/3) 的定义域。
解析：

1. 对数函数要求真数 x1/3>0。
2. x1/3 对所有实数 x=0 均有定义，但真数需为正，故 x>0。
3. 定义域为 (0,+∞)。

例题3：定义域与值域的综合应用
已知幂函数 f(x)=xα 的定义域为 (-∞,0)∪(0,+∞)，值域为 (0,+∞)，求 α 的取值范围。
解析：

1. 定义域排除0，说明 α<0。
2. 值域为 (0,+∞)，说明函数在 x>0 时取正值，且当 x→0+ 时函数值趋近于 +∞，当 x→+∞ 时函数值趋近于0。
3. 综合得 α<0，且 α 为有理数时，分母为奇数（如 α=-1,-3 等）。

四、备考建议

1. 掌握定义域规则：熟记不同指数类型对应的定义域，特别注意负指数和分数指数的限制。
2. 结合奇偶性分析：通过奇偶性快速判断定义域的对称性。
3. 强化复合函数训练：从内到外逐层分析复合函数的定义域限制。
4. 关注实际应用：将定义域问题与实际情境结合，提升建模能力。

幂函数的定义域是高考函数部分的重点考查内容，掌握其规则并结合典型例题训练，可高效提升解题能力。

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