高考提分第五十期:三角函数重难点解析与典型例题精讲，绝了

一、核心公式体系及变形技巧

三角函数公式体系包含三大核心模块：

1. 和差公式体系

sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ

cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ

2. 倍角公式族

sin2α=2sinαcosα

cos2α=cos^2α-sin^2α=2cos^2α-1=1-2sin^2α

3. 辅助角公式

asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)，其中tanφ=b/a

典型例题1：化简cos(15°)cos(45°)-sin(15°)sin(45°)

解：逆用余弦和角公式

原式=cos(15°+45°)=cos60°=1/2

二、图像变换三重维度

1. 相位平移：y=sin(x+φ) 左加右减

2. 纵向伸缩：A控制振幅，y=Asinx

3. 横向压缩：ω影响周期，T=2π/|ω|

典型例题2：描述y=3sin(2x-π/4)+1的变换过程

解：

① 基础函数y=sinx

② 横坐标压缩为原来1/2→y=sin2x

③ 向右平移π/8单位→y=sin[2(x-π/8)]=sin(2x-π/4)

④ 纵坐标放大3倍→y=3sin(2x-π/4)

⑤ 整体上移1单位→最终函数

三、解三角形双定理应用策略

1. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

适用场景：已知两角一边或两边对角

2. 余弦定理：a^2=b^2+c^2-2bccosA

适用场景：已知三边或两边夹角

典型例题3：在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8，求最大角

解：

最大角对应最长边c，设角C为所求

cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)=(25+49-64)/(2×5×7)=10/70=1/7

∴ C=arccos(1/7)≈81.79°

四、综合应用难点突破

复杂三角函数问题常需多公式联用，重点掌握：

1. 代数式与三角式的相互转化

2. 参数方程与普通方程的互化

3. 三角函数最值问题的多种解法

典型例题4：求函数f(x)=sinx+√3cosx在[0,π]上的最大值

解法1：辅助角公式

f(x)=2sin(x+π/3)

∵x∈[0,π]，x+π/3∈[π/3,4π/3]

最大值为2（当x+π/3=π/2时）

解法2：导数法

f'(x)=cosx-√3sinx

令f'(x)=0得tanx=1/√3 → x=π/6

验证端点：

f(0)=√3≈1.732，f(π/6)=2，f(π)=-√3≈-1.732

∴最大值为2

五、易错点警示

1. 角度制与弧度制混用

2. 反三角函数求值时忽略定义域限制

3. 解三角形时出现"边角不对应"错误

4. 公式变形时符号处理失误

学习建议：

① 建立公式推导树状图

② 制作典型例题解题模板

③ 每日进行5分钟快速公式默写

④ 重点练习图像变换的逆向思维题

通过系统掌握核心公式、深入理解图像变换规律、灵活运用解三角形方法，配合典型例题的变式训练，可有效突破三角函数学习难点。建议在学习过程中注重数形结合，建立三角模型与现实问题的联系，提升综合应用能力。