[高等数学]-曲率公式的推导

[高等数学]-曲率公式的推导

目录

1. 曲率的定义
2. 曲率公式的推导
3. 圆的曲率的推导

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正文

1 曲率的定义

曲率是描述曲线在某一点处弯曲程度的量，其严格定义如下：

设曲线C是光滑的，在曲线C上取一点M，以及与M点邻近的一点M’，设弧MM’的长为△s，曲线在M点和M’处的切线的夹角为△α。当点M’沿曲线C趋近于点M时，即△s→0时，极限存在，则称此极限为曲线在点处的曲率。

直观地说，就是在曲线某点附近取一小段弧，该弧两端点切线的夹角与弧长之比在弧长趋于零时的极限，它反映了曲线在该点处的弯曲程度。例如，对于半径为R的圆，其上任一点的曲率都为1/R，即圆的弯曲程度处处相同且与半径成反比，半径越小，曲率越大，弯曲程度越厉害。

2 曲率公式的推导

对于函数y = f(x)表示的曲线，其曲率的计算公式为：

证：

α是曲线上某点的切线的倾斜角, 而y’是曲线的斜率, 则y’=tanα, 于是 α=arctan(y’)，

证毕。

3 圆的曲率的推导

题2 圆的标准方程为 ，求证曲率 k=1/r 。

证： 圆的方程即 ，先考虑+号情况。

同理，对于 - 号情况结果相同。

证毕。

总结：在曲率公式和圆的曲率的推导过程中，运用了多种微分法则。例如反函数的求导公式，反三角函数的求导公式，链式求导法则，分式求导公式。因此可以把曲率公式和圆的曲率的推导当成很好的微分练习题。

参考文献

[1] 豆包APP.“曲率的定义”.

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