高考第一轮 专项复习 专题三3-3 指数函数 对数函数
3.3 指数函数、对数函数
基础篇
考点一 指数与对数的定义及运算
1.(2023届湖北摸底联考,4)若3x=4y=10,z=logxy,则( )
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>x>y D.x>z>y
答案 A
2.(2022湖湘教育三新探索协作体期中,4)设4a=3b=36,则=( )
A.3 B.1 C.-1 D.-3
答案 B
3.(2021全国甲理,4,5分)青少年视力是社会普遍关注的问题,视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据,五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9,则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)( )
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
答案 C
4.(2020课标Ⅰ文,8,5分)设alog34=2,则4-a= ( )
A.
答案 B
5.(2019北京,6,5分)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 ( )
A.1010.1 B.10.1
C.lg 10.1 D.10-10.1
答案 A
6.(多选)(2021江苏常州一模,12)已知正数x,y,z满足3x=4y=12z,则( )
A.6z<3x<4y B.
C.x+y>4z D.xy<4z2
答案 AC
7.(2023届兰州五十五中开学考,17)求下列各式的值.
(1)-10(-1)-1+π0;
(2)lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2.
解析 (1)-10(-1)-1+π0
=+(500-1.
- lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2=2lg 5+lg 2(1+lg 5)+(lg 2)2=2lg 5+lg 2+lg 2(lg 2+lg 5)
=2(lg 2+lg 5)=2.
考点二 指数函数与对数函数的图象与性质
1.(2020课标Ⅰ理,12,5分)若2a+log2a=4b+2log4b,则( )
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
答案 B
2.(2023届山东潍坊临朐实验中学月考,2)函数y=(-x2+x+6)的单调递增区间为( )
A.
C.
答案 A
3.(2023届辽宁鞍山质量监测,3)“幂函数f(x)=(m2+m-1)xm在(0,+∞)上为增函数”是“函数g(x)=2x-m2·2-x为奇函数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 A
4.(多选)(2022广东普宁二中月考,12)高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-3.2]=-4,[2.3]=2.已知函数f(x)=,若g(x)=[f(x)],则下列叙述正确的是( )
A. f(x)是奇函数
B. f(x)在R上是减函数
C.g(x)是偶函数
D.g(x)的值域是{-1,0}
答案 AD
5.(2022广东华侨中学月考,5)已知函数y=ax-2+1(a>0,且a≠1)的图象过定点P,若点P在直线2mx+ny-6=0(m,n>0)上,则的最小值为( )
A.2 B.
答案 B
6.(2022T8联考,4)已知函数y=f(x)的图象与函数y=2x的图象关于直线y=x对称,g(x)为奇函数,且当x>0时,g(x)=f(x)-x,则g(-8)=( )
A.-5 B.-6 C.5 D.6
答案 C
- (2022广东南山蛇口育才中学月考,7)如图,直线x=m(m>1)依次与曲线y=logax、y=logbx及x轴相交于点A、点B及点C,若B是线段AC的中点,则( )
A.1<b≤2a-1 B.b>2a-1
C.1<b≤2a D.b>2a
答案 B
8.(2022河北邢台“五岳联盟”联考,15)写出一个同时具有下列四个性质的函数f(x)= .
①定义域为(0,+∞);②单调递增;③f(x1x2)+f(1)=f(x1)+f(x2);④f(1)>0.
答案 lg(2x)(答案不唯一,只要满足f(x)=kloga(mx)(k>0,a>1,m>1)即可)
9.(2023届广东普宁华美实验学校月考,14)写出一个具有性质①②③的函数f(x)= .
①f(x)的定义域为(0,+∞);②f(x1x2)=f(x1)+f(x2);③当x∈(0,+∞)时,f '(x)>0.
答案 log3x(答案不唯一)
综合篇
考法一 比较指数式、对数式大小的方法
1.(2023届福建龙岩一中月考,2)已知a=log1.10.9,b=0.91.1,c=1.10.9,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.a<c<b
C.b<a<c D.b<c<a
答案 A
2.(2021新高考Ⅱ,7,5分)若a=log52,b=log83,c=,则( )
A.c<b<a B.b<c<a
C.a<c<b D.a<b<c
答案 C
3.(2018天津理,5,5分)已知a=log2e,b=ln 2,c=lo,则a,b,c的大小关系为( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.c>a>b
答案 D
4.(2020天津,6,5分)设a=30.7,b=,c=log0.70.8,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 D
5.(2022湖北京山、安陆等百校联考,7)已知a=4log242,b=log54,c=,则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>b>a D.a>c>b
答案 A
6.(2019天津理,6,5分)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c的大小关系为( )
A.a<c<b B.a<b<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
7.(2022福建永安三中月考,2)若a=2.1-3,b=,c=log20.5,则( )
A.b>c>a B.b>a>c
C.a>c>b D.a>b>c
答案 B
8.(多选)(2022山东日照校际联考,9)若0<a<b<c,则下列结论正确的是( )
A.ln a<ln b B.b2<a2
C.
答案 AC
9.(2020课标Ⅲ理,12,5分)已知55<84,134<85.设a=log53,b=log85,c=log138,则( )
A.a<b<c B.b<a<c
C.b<c<a D.c<a<b
答案 A
考法二 指数型复合函数的相关问题
1.(2020课标Ⅱ理,11,5分)若2x-2y<3-x-3-y,则 ( )
A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0
C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0
答案 A
2.(2022河北邯郸一模,14)不等式10x-6x-3x≥1的解集为 .
答案 [1,+∞)
3.(2022湖南岳阳二模,15)关于x的不等式(x-1)9 999-29 999·x9 999≤x+1的解集为 .
答案 [-1,+∞)
考法三 对数型复合函数的相关问题
1.(2023届安徽十校联考,6)已知函数f(x)=loga(x2-ax+a),若x0∈R,f(x)≥f(x0)恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.{a|1<a<4}
B.{a|0<a<4,且a≠1}
C.{a|0<a<1}
D.{a|a≥4}
答案 A
- (2022广东深圳六校联考二,7)已知函数f(x)=log0.5(x+),若a=
0.6-0.5,b=log0.50.6,c=log0.65,则( )
A. f(a)<f(b)<f(c) B. f(c)<f(b)<f(a)
C. f(c)<f(a)<f(b) D. f(b)<f(a)<f(c)
答案 A
3.(2022辽宁渤海大学附中月考,6)函数y=lg(8-x)+lg(x-a)在区间(2,4)上是增函数,则实数a的取值范围是( )
A.[0,1] B.[-1,2]
C.[0,2] D.[-1,1]
答案 C
4.(多选)(2023届福建龙岩一中月考,10)关于函数y=lg的说法正确的是( )
A.定义域为(-1,1)
B.图象关于y轴对称
C.图象关于原点对称
D.在(0,1)内单调递增
答案 ACD
5.(2022华南师大琼中附中月考,7)函数f(x)=lo(x2-4x)的单调递增区间为( )
A.(-∞,2) B.(2,+∞)
C.(-∞,0) D.(4,+∞)
答案 C
6.(多选)(2022重庆八中摸底,11)设函数f(x)=x·ln x,则关于x的方程|f(x)|=m的实数根的个数可能为( )
A.4 B.3 C.2 D.1
答案 BCD
7.(2022辽宁葫芦岛协作校月考,19)已知函数f(x)=log2(x+a)的定义域为[1,9],且f(x)的图象经过点(3,2).
(1)求函数g(x)=-f(x)的最大值;
(2)求函数h(x)=f(x2)-f(x-1)的值域.
解析 (1)因为f(x)的图象经过点(3,2),所以f(3)=log2(3+a)=2,则3+a=22,即a=1.
从而f(x)=log2(x+1).y=在[1,9]上为减函数,y=-f(x)在[1,9]上为减函数,所以g(x)在[1,9]上是减函数,故g(x)max=g(1)=4-1=3.
(2)由得2≤x≤3,则h(x)的定义域为[2,3].h(x)=f(x2)-f(x-1)=log2(x2+1)-log2x=log2,易证h(x)=log2在[2,3]上为增函数,且h(2)=log2,h(3)=log2,
所以h(x)的值域为.