第五篇：综合提升 —— 攻克期末重难点，打通知识脉络

新高一上学期数学学习即将收尾，集合、函数、三角函数等模块并非孤立存在，而是相互关联、相互渗透。西安新高一学生在期末备考中，不仅要巩固单一知识点，更需掌握 “跨章节综合解题” 能力 —— 比如用集合表示函数定义域，用三角函数模型解决实际周期问题，用函数单调性证明不等式。这篇内容将从知识整合、重难点突破、期末备考技巧三方面，帮孩子高效冲刺期末。

一、知识网络构建：打通章节壁垒

1. 核心模块关联图（可视化梳理）

2. 高频综合题型分类

• 类型 1：集合与函数结合

解题关键：先通过集合运算确定变量范围，再代入函数分析性质。

示例：设集合 A = {x | x^2 - 5x + 6 ≤ 0}，B = {y | y = logx, x ∈ A}，求 B 的范围。

步骤：①解集合 A：x^2 - 5x + 6 ≤ 0 => 2 ≤ x ≤ 3，故 A = [2,3]；②分析函数 y = logx 在 [2,3] 上单调递增，当 x=2 时 y=1，x=3 时 y=log3，故 B = [1, log3]。

• 类型 2：三角函数与二次函数复合

解题关键：通过三角恒等变换（如 sin^2x = 1 - cos^2x）将函数转化为二次函数，再求最值。

示例：求函数 y = 2sin^2x - 4cosx + 1 的最大值与最小值。

步骤：①变形：y = 2 (1 - cos^2x) - 4cosx + 1 = -2cos^2x - 4cosx + 3；②令 t = cosx（t ∈ [-1,1]），则 y = -2t^2 - 4t + 3；③二次函数 y = -2t^2 - 4t + 3 开口向下，对称轴 t = -1，在 t ∈ [-1,1] 上单调递减，故 t=-1 时 y=5（最大值），t=1 时 y=-3（最小值）。

二、期末重难点突破：聚焦高频易错点

1. 函数综合问题（期末占比 30%+）

• 重难点 1：复合函数单调性判断

核心法则：“同增异减”（外层与内层函数单调性相同，则复合函数递增；反之递减），需先求定义域，再拆分内外层函数。

示例：求 y = log/(x^2 - 2x - 3) 的单调递减区间。

易错点：①未求定义域直接分析单调性（正确定义域：x^2 - 2x - 3 > 0 => x <-2 或 x> 4）；②混淆内外层单调性（外层 y = log/t 递减，需内层 t = x^2 - 2x - 3 递增，故递减区间为 (4, +∞)）。

• 重难点 2：函数奇偶性与周期性结合

解题技巧：若 f (x) 是周期为 T 的奇函数，则 f (x + T) = f (x)，且 f (-x) = -f (x)，可结合特殊值（如 f (0) = 0）快速求解。

示例：已知 f (x) 是周期为 4 的奇函数，f (1) = 2，求 f (7) 的值。

步骤：f (7) = f (4 + 3) = f (3) = f (4 - 1) = f (-1) = -f (1) = -2。

2. 三角函数应用（期末常考实际建模）

• 重难点：从实际问题抽象三角函数模型

关键步骤：①确定周期（如钟摆摆动一次的时间、交流电周期）；②确定振幅（最大偏离量）；③确定初相（初始位置对应的角度）。

示例：某摩天轮半径 10 米，每 2 分钟转一圈，最低点距地面 2 米，若以最低点为起点，求高度 h（米）与时间 t（分钟）的函数关系。

建模过程：①周期 T = 2，故 ω = 2π/T = π；②振幅 A = 10（半径）；③初始位置 t=0 时 h=2，函数形式为 h = A sin (ωt + φ) + 最低点高度 + A（平衡位置高度），即 h = 10 sin (πt - π/2) + 12（当 t=0 时，sin (-π/2) = -1，h= -10 + 12 = 2，符合初始条件）。

3. 不等式恒成立问题（易错点集中）

• 解题方法：分离参数法

适用场景：将不等式中参数与变量分离，转化为 “参数 ≤ 函数最小值” 或 “参数 ≥ 函数最大值”。

示例：已知 x ∈ [1,3] 时，x^2 - ax + 4 ≥ 0 恒成立，求 a 的取值范围。

步骤：①分离参数：ax ≤ x^2 + 4 => a ≤ x + 4/x（x ∈ [1,3]）；②求函数 g (x) = x + 4/x 在 [1,3] 上的最小值（由对勾函数性质，g (x) 在 [1,2] 递减，[2,3] 递增，g (2)=4）；③故 a ≤ 4。

易错点：忽略 x 的正负（此处 x ∈ [1,3] 为正，可直接分离；若 x 为负，需变号）。

三、期末备考实战：原题解析与技巧总结

1. 期末模拟综合题（含评分标准）

例题： 已知函数 f (x) = log(x + 1) + log(1 - x)（a > 0 且 a ≠ 1）。

（1）求 f (x) 的定义域；（2）判断 f (x) 的奇偶性；（3）若 a > 1，求 f (x) 在 [0, 1/2] 上的最大值。

解析：

（1）定义域求解（3 分）：

需满足 {x + 1> 0, 1 - x > 0} => -1 < x < 1，故定义域为 (-1, 1)。

（2）奇偶性判断（4 分）：

①定义域 (-1,1) 关于原点对称；②f (-x) = log(-x + 1) + log(1 + x) = f (x)，故 f (x) 为偶函数。

（3）最大值求解（5 分）：

①化简 f (x) = log[(x + 1)(1 - x)] = log(1 - x^2)；②令 t = 1 - x^2，x ∈ [0, 1/2]，则 t ∈ [3/4, 1]；③当 a > 1 时，y = logt 单调递增，故 t=1 时 f (x) 最大，f (0) = log1 = 0。

评分要点： 定义域漏写不等号扣 1 分；奇偶性未判断定义域对称扣 2 分；未化简函数直接求导扣 2 分（高一阶段可不用导数，用二次函数单调性即可）。

2. 备考技巧 “三步法”

• 第一步：知识点地毯式复盘

对照教材目录，用 “思维导图” 梳理每章核心公式（如三角函数诱导公式、函数单调性定义），标注易错点（如对数真数大于 0、正切函数定义域），确保无知识盲区。

• 第二步：错题分类专项突破

将期中、月考错题按 “计算错误”“思路错误”“概念错误” 分类：

• 计算错误（如弧度与角度转换错误）：每天练 5 道基础计算题，强化步骤规范；

• 思路错误（如复合函数单调性判断）：总结同类题解题模板（先定义域→拆内外层→用 “同增异减”）；

• 概念错误（如混淆指数与幂函数）：重新研读教材定义，结合对比表格记忆。

• 第三步：限时模拟训练

按期末试卷时长（90 分钟或 120 分钟）做 2-3 套新高一期末真题，训练时间分配能力：选择填空控制在 40 分钟内，大题每道题不超过 10 分钟，预留 10 分钟检查（重点检查定义域、符号、计算步骤）。

四、家长辅助建议：帮孩子高效冲刺

1. 监督基础公式默写：每天花 5 分钟让孩子默写核心公式（如三角函数特殊值表、对数运算法则），确保基础题不丢分；

2. 陪同分析错题根源：当孩子错题时，不直接讲答案，而是引导其说出 “第一步哪里错了”“为什么会错”，培养错题反思习惯；

3. 关注心态调整：避免过度强调 “期末必须考多少分”，而是鼓励孩子 “把会的题都做对”，减少考前焦虑。

通过以上知识整合、重难点突破与备考技巧指导，孩子能系统掌握新高一上学期数学核心内容，从容应对期末综合题型。若需要近 3 年新高一数学期末真题及答案解析，或针对某类薄弱题型（如函数与不等式结合题）的专项训练，可随时沟通，为孩子定制专属备考方案。