一、核心公式树

【正弦家族】  
● sin(α+β) = sinαcosβ **+** cosαsinβ  
● sin(α-β) = sinαcosβ **-** cosαsinβ  
 
【余弦家族】  
● cos(α+β) = cosαcosβ **-** sinαsinβ  
● cos(α-β) = cosαcosβ **+** sinαsinβ  
 
【正切家族】（α,β,α±β ≠ kπ+π/2）  
● tan(α+β) = (tanα + tanβ)/(1 **-** tanαtanβ)  
● tan(α-β) = (tanα - tanβ)/(1 **+** tanαtanβ)  

二、公式推导图解

单位圆法证明cos(α-β)：

1. 设角α终边交单位圆于A(cosα,sinα)
2. 角β终边交圆于B(cosβ,sinβ)
3. 向量OA·OB = |OA||OB|cos(α-β) = cos(α-β)
4. 坐标计算：OA·OB = cosαcosβ + sinαsinβ
   故 cos(α-β) = cosαcosβ + sinαsinβ

三、高频应用场景

场景1：求非特殊角函数值

求sin75°
解：sin(45°+30°) = sin45°cos30° + cos45°sin30°
= (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4

场景2：化简复合式

sin(x+π/3) + sin(x-π/3)
= [sinxcosπ/3 + cosxsinπ/3] + [sinxcosπ/3 - cosxsinπ/3]
= 2sinx·(1/2) = sinx

场景3：弦化切求值

已知tanα=2，tanβ=3，求tan(α+β)
解：tan(α+β) = (2+3)/(1-2×3) = 5/(-5) = -1

四、避错指南

陷阱1：符号错乱
混淆cos(α+β)与sin(α+β)符号规律
正弦同号，余弦异号（观察公式加减号）

陷阱2：定义域遗漏

求tan(45°+60°)
直接代入：tan45°=1, tan60°=√3 → (1+√3)/(1-√3)
先判角度：45°+60°=105°∈第二象限 → tan105°<0

陷阱3：公式变形错误

化简 sin(α+β)cosβ - cos(α+β)sinβ
误用两角差公式
逆向构造：原式 = sin[(α+β)-β] = sinα

五、公式变形网络

                     → 辅助角公式：asinx+bcosx=√(a^2+b^2)sin(x+φ)  
两角和差公式  
                     → 二倍角公式（令β=α）：sin2α=2sinαcosα  

学习心法

1. 记忆口诀：
2. 正弦："赛扩扩赛，符号同原"（sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ）
   余弦："扩扩赛赛，符号相反"（cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ）
   正切："分子同号，分母异号"
3. 几何验证：
4. 用两块30°+45°三角板拼成75°角，测量边长验证sin75°