含有三角函数的方程怎么解?牛顿切线法应用实例

虽然牛顿切线法常被用于求高次方程的近似解。但牛顿切线法其实并不仅针对高次方程，它是可以用来求一般方程的近似解的，例如下面这个方程中，包含有三角函数，也适用牛顿切线法。

牛顿切线法在系列视频“老黄学高数”第211讲中有详述，这里就不做介绍了。直接应用起来。而且还会有一些应用技巧分享给大家。

求方程x=0.538sinx+1的根的近似数，精确到0.001.

分析：首先为了方便描述，记函数f(x)=0.538sinx+1-x，然后求f'(x)和f"(x). 这里求得f'(x)<0，说明这是一个单调减函数，这样的函数最多只有一个根。一般会求函数趋于无穷的极限，证明它有一个根。不过这样做其实是多余的，无谓增加运算量。

因为接下来我们会检验这个根的位置，根据经验，可以很快发现方程的这个根在(1,2)上。因为f(1)>0，而f(2)<0，由根的存在性定理可知。既然这样就可以找到根所在的区间，又何必去证明它是否存在呢! 换言之，如果不存在，那这道题也就没有意义了。

牛顿切线法的第一步，就是要找到根所在的区间，一般会取一个单位区间(n,n+1)。函数在这个区间上，必须满足具有单调性和凸性。显然，这个函数在(1,2)上是单调减，且上凸的。根据函数的单调性以及凸性的不同，牛顿切线法在这里分成四种情况，有两种运算策略，详情请观看“老黄学高数”第211讲。

而这个函数在零点所在的区间(1,2)上，单调性和凸性属于牛顿切线法的第四种情形，如下图：(注意，这并不是f(x)的部分图像)

如图，从B点画切线交x轴于x1，求得x1约等于1.583. 老黄第一次解这类题，在这里就傻傻地开始检验x1的误差。其实哪有那么快就得到近似解啊，这个x1多半是非常不准确的。哪怕符合精确度要求的，也可以不用求误差，直接取第二个点，用来比较x1的误差。这是老黄第二次解这类题的时候，总结出来的经验。老黄的意思是，每一道练习，你都要归纳出经验，不然就差不多相当于白做了。

再从x1画切线交x轴于x2，求得x2约等于1.538. 瞧！1.583-1.538=0.045，说明x1的精确度根本不符合要求。那么现在就检验x2的误差了吗？其实检验误差不如继续求点简便。

所以继续从x2画切线交x轴于x3，求得x3约等于1.538. 这就不用老黄解释了吧。很明显的，方程的近似根精确到0.001，就是1.538.

这是老黄第三次解这类题。那么老黄有没有得出什么经验呢？当然有了。要不然不相当于白解了吗？老黄的经验是，当精确度要求为0.001时，如果xn-x_<n-1>小于0.005，那么xn就是方程的近似解。否则就要继续求点。而且这个经验是可以拓展的。换句话说，检验误差这一步，完全是可以省略掉的。否则每个点都要检验误差，多余的重复运算就太多了。

求点的公式是牛顿切线法的核心，它是点列{xn}的一个通项关系式：

xn=x_<n-1>-f(x_<n-1>)/f'(x_<n-1>).

最后我们还是可以检验一下这个近似根的，就是强化知识嘛。当然它并非必要的。求导函数在[1,2]的最小值约等于0.707，用x3的函数的绝对值除以这个最小值，可以得到x3的绝对误差约等于0.00004，远远地小于0.001. 因此1.538的确就是方程精确到0.001的近似根。事实上，它的精确度不仅只有0.001，而是精确到0.0001了。

最后以图片的形式展示解题的过程如下：

函数f(x)的图像其实是这样的：

可以把上面的分析过程和求解过程结合起来阅读，对整个解题过程才会有更深刻的理解。而且一定要从中得到属于自己的知识哦。